MIRZA FARYS SALAM: Bangun Ruang

Sabtu, 04 Januari 2014 by Unknown in

Bangun Ruang

v Pengertian Bangun Ruang

Bangun ruang adalah bangun matematika yang mempunyai isi ataupun volume. Bangun ruang merupakan sebutan dari bangun-bangun tiga dimensi.

v Macam-Macam Bangun Ruang

Jenis bangun ruang antara lain:

· Kubus

· Balok

· Prisma tegak segitiga siku - siku

· Tabung

· Kerucut

· Limas

· Bola

1. Kubus

a. Ciri - ciri Kubus :

1. Jumlah bidang sisi ada 6 buah yang berbentuk bujur sangkar (ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE,)

2. Mempunyai 8 titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H)

3. Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang (AB, CD, EF, GH, AE, BF, CG, DH, AD, BC, EH, FG)

4. Semua sudutnya siku-siku

5. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang (4 diagonal ruang = garis AG, BH, CE, DF dan 12 diagonal bidang = garisAC, BD, EG, FH, AH, DE, BG, CF, AF, BE, CH, DG)

b. Rumus pada kubus

Ø Diagonal Bidang =

Ø Luas permukaan =

Ø Volume =

2. Balok

a. Ciri-ciri Balok :

1. Alasnya berbentuk segi empat

2. Terdiri dari 12 rusuk

3. Mempunyai 6 bidang sisi

4. Memiliki 8 titik sudut

5. Seluruh sudutnya siku-siku

6. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang

b. Rumus pada balok

Ø Panjang diagonal sisi balok

Ø Luas sisi balok =

Ø Luas bidang diagonal :

Ø Volume

3. Prisma Tegak segitiga siku-siku

a. Ciri-ciri :

1. Terdiri dari 6 titik sudut

2. Mempunyai 9 buah rusuk

3 Mempunyai 5 bidang sisi

b. Rumus Prisma tegak segitiga siku – siku

Ø Luas sisi prisma : jumlah panjang rusuk alas x tinggi + luas 2 tutup

Ø Volume prisma : luas alas x tinggi

4. Tabung / Silinder

a. Ciri-ciri:

1. Mempunyai 2 rusuk

2. Alas dan atapnya berupa lingkaran

3. Mempunyai 3 bidang sisi ( 2 bidang sisi lingkaran atas dan bawah, 1 bidang selimut)

b. Rumus tabung

Ø Volume tabung = luas alas x tinggi

Luas alas = luas lingkaran alas tabung =

Dengan

Jadi Volume tabung =

Ø Luas Permukaan Tabung = 2 x luas alas + Luas selimut tabung

5. Kerucut

t s

a. Ciri-ciri :

1. Mempunyai 2 bidang sisi (1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut)

2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut

b. Rumus kerucut

Ø Luas selimut =

Luas alas =

Luas Permukaan kerucut = Luas alas + Luas Selimut

Ø Volume = Luas alas x tinggi

6. Limas

a. Limas Segitiga

a. Ciri-ciri :

1. Alasnya berbentuk segitiga

2. Mempunyai 4 bidang sisi (alas dan 3 sisi tegak)

3. Mempunyai 6 rusuk

4. Mempunyai 4 titik sudut

b. Rumus Limas segitiga

Ø Luas alas = alas x tinggi

Volume = Luas alas x tinggi

Ø Luas = Luas alas + (3 x luas tegak segitiga)

b. Limas Segiempat

a. Ciri-ciri :

1. Alasnya berbentuk segiempat (BCDE)

2. Mempunyai 5 bidang sisi (BCDE, ABC, ACD,ABE, ADE)

3. Mempunyai 5 titik sudut ( A, B,C,D,E)

4. Mempunyai 8 rusuk (AB, AC,AD,AE,BC,CD,DE,BE)

b. Rumus limas segiempat

Ø Volume Limas = ⅓ Luas alas x tinggi

7. Bola

a. Ciri-ciri :

1. Hanya mempunyai 1 bidang sisi

2. Tidak mempunyai sudut dan tidak mempunyai rusuk

b. Rumus bola

Ø Volume =

Ø Luas =

Contoh Soal:

1. Sebuah tabung memiliki diameter 7 cm, tinggi 4 cm. Jika $\pi = \frac{22}{7}$ hitunglah :

Volume tabung
Luas selimut tabung
Luas alas tabung
Luas tutup tabung
Luas sisi tabung

Jawab:

Volume tabung = Luas alas x Tinggi

$\begin{align*} V &= \pi r^2 \times t \\ &= \frac{22}{7} \times {\left(\frac{7}{2}\right)}^2 \times 4 \\ &= \frac{22}{\cancel{7}} \times \frac{\cancel{7}}{\cancel{2}} \times \frac{7}{\cancel{2}} \cdot \cancel{4} \\ &= 22 \times 7 \\ &= 154 \: cm^3 \end{align*}$

Luas selimut tabung = Keliling alas x Tinggi

$\begin{align*} \text{Luas selimut tabung} &= 2 \pi r \times t \\ &= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times 4 \\ &= \cancel{2} \times \frac{22}{\cancel{7}} \times \frac{\cancel{7}}{\cancel{2}} \times 4 \\ &= 22 \times 4 \\ &= 88 \: cm^2 \end{align*}$

Luas alas tabung = Luas lingkaran

$\begin{align*} \text{Luas alas tabung} &= \pi r^2 \\ &= \frac{22}{7} \times {\left(\frac{7}{2}\right)}^2 \\ &= \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \\ &= \frac{\cancelto{11}{22}}{\cancel{7}} \times \frac{\cancel{7}}{\cancelto{1}{2}} \times \frac{7}{2} \\ &= 11 \times \frac{7}{2} \\ &= \frac{77}{2} \\ &= 38,5 \: cm^2 \end{align*}$

Luas tutup tabung = Luas alas tabung = $38,5 \: cm^2$
Luas sisi tabung = Luas selimut + Luas alas + Luas tutup

$\begin{align*} \text{Luas sisi tabung} &= 88 + 38,5 + 38,5 \\ &= 165 \: cm^2 \end{align*}$

2. Sebuah tabung mempunyai diameter yang sama dengan tingginya. Jika luas selimut tabung tersebut adalah $78,5 \: cm^2$ . Jika $\pi = 3,14$ , berapakah volume tabung tersebut ?

Jawab:

Karena diameter = tinggi, maka misalkan diameter = tinggi = x.

$\begin{align*} \text{Luas selimut tabung} &= 2 \pi r \times t \\ 78,5 &= \pi \times 2r \times t \\ 78,5 &= \pi \times d \times t \\ 78,5 &= \pi \cdot x \cdot x \\ 78,5 &= \pi \cdot x^2 \\ \frac{78,5}{\pi} &= x^2 \\ \frac{78,5}{3,14} &= x^2 \\ 25 &= x^2 \\ x &= 5 \end{align*}$

Jadi diameter tabung adalah 5 cm, sehingga jari-jari tabung adalah 2,5 cm Serta tinggi tabung menjadi 5 cm.

$\begin{align*} V &= \pi r^2 \times t \\ &= \pi \times (2,5)^2 \times 5 \\ &= \pi \times 6,25 \times 5 \\ &= \pi \times 31,25 \\ &= 3,14 \times 31,25 \\ &= 98,125 \end{align*}$

Jadi volume tabung tersebut adalah $98,125 \: cm^3$

3. Sebuah kerucut mempunyai diameter 10 cm dan tinggi 12 cm. Jika $\pi = 3,14$ hitunglah :

Volume kerucut
Luas selimut kerucut
Luas alas kerucut
Luas sisi kerucut

Jawab:

Volume kerucut = $\frac{1}{3}$ x Luas alas x Tinggi

$\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times t \\ &= \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 \\ &= \frac{1}{\cancel{3}} \times \pi \times 25 \times \cancelto{4}{12} \\ &= 25 \times 4 \times \pi \\ &= 100 \pi \\ &= 100 \times 3,14 \\ &= 314 \: cm^2 \end{align*}$

Luas selimut kerucut = $\pi r \: s$ . Kita harus terlebih dahulu mencari s (garis pelukis) dengan menggunakan rumus Phytagoras.

$\begin{align*} s^2 &= r^2 + t^2 \\ s^2 &= 5^2 + 12^2 \\ s^2 &= 25 + 144 \\ s^2 &= 169 \\ s &= \sqrt{169} \\ s &= 13 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{Luas selimut kerucut} &= \pi r \: s \\ &= \pi \times 5 \times 13 \\ &= 65 \pi \\ &= 65 \times 3,14 \\ &= 204,1 \: cm^2 \end{align*}$

Luas alas kerucut = Luas lingkaran

$\begin{align*} \text{Luas alas kerucut} &= \pi r^2 \\ &= \pi \times 5^2 \\ &= 25 \pi \\ &= 25 \times 3,14 \\ &= 78,5 \: cm^2 \end{align*}$

Luas sisi kerucut = Luas selimut + Luas alas

$\begin{align*} \text{Luas sisi kerucut} &= 204,1 + 78,5 \\ &= 282,6 \: cm^2 \end{align*}$

4. Sebuah kerucut terpancung seperti gambar di bawah ini. Jari-jari alas adalah 2 kali jari-jari tutup, dan tinggi kerucut besar 2 kali tinggi kerucut kecil. Jika jari-jari alas 14 cm dan tinggi bangun 21 cm, berapakah volume bangun tersebut?

Jawab:

Volume bangun = Volume kerucut besar – Volume kerucut kecil

$\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \pi \: r_2^2 \: t_2 - \frac{1}{3} \pi \: r_1^2 \: t_1 \\ &= \frac{1}{3} \pi \times 14^2 \times 42 - \frac{1}{3} \pi \times 7^2 \times 21 \\ &= \frac{1}{\cancel{3}} \pi \times 14^2 \times \cancelto{14}{42} - \frac{1}{\cancel{3}} \pi \times 7^2 \times \cancelto{7}{21} \\ &= 14^3 \pi - 7^3 \pi \\ &= (14^3 - 7^3) \pi \\ &= (2744 - 343) \pi \\ &= 2401 \pi \\ &= 2401 \times \frac{22}{7} \\ &= 7546 \: cm^3 \end{align*}$

5. Sebuah kerucut dibuat dari selembar karton berbentuk juring lingkaran dengan sudut pusat 288 derajat dan jari-jari 10 cm. Hitunglah volume kerucut yang terbentuk ! (gunakan $\pi = 3,14$ )

Untuk kerucut yang dibuat dari juring, maka luas juring akan sama dengan luas selimut kerucut, dan jari-jari juring akan menjadi garis pelukis kerucut.

Jawab:

$\begin{align*} \text{Luas juring karton} &= \frac{\text{sudut}}{360^o} \times \pi \: r^2 \\ &= \frac{288}{360} \times \pi \times 10^2 \\ &= 0.8 \times 100 \pi \\ &= 80 \pi \: cm^2 \end{align*}$

Luas selimut kerucut = Luas juring karton = $80 \pi \: cm^2$ .

Garis pelukis kerucut = Jari-jari juring = 10 cm.

$\begin{align*} \text{Luas Selimut Kerucut} &= \pi \: r \: s \\ 80 \pi &= \pi \: r \: 10 \\ 80 \cancel{\pi} &= \cancel{\pi} \: r \: 10 \\ 80 &= 10r \\ r &= 8 \: cm \end{align*}$

Berikutnya cari tinggi kerucut menggunakan rumus Phytagoras .

$\begin{align*} t^2 &= s^2 - r^2 \\ &= 10^2 - 8^2 \\ &= 100 - 64 \\ &= 36 \\ t &= \sqrt{36} \\ &= 6 \: cm \end{align*}$

Setelah mendapat tinggi, baru kita bisa menghitung volume kerucut.

$\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times t \\ &= \frac{1}{3} \times \pi \times 8^2 \times 6 \\ &= \frac{1}{\cancel{3}} \times \pi \times 8^2 \times \cancelto{2}{6} \\ &= \pi \times 64 \times 2 \\ &= 128 \pi \\ &= 401,92 \: cm^3 \end{align*}$

6. Sebuah bola basket mempunyai diameter 20 cm. Hitunglah :

Volume bola basket dan,
Luas sisi bola basket

Jawab :

Volume bola basket = $\frac{4}{3} \pi r^3$ , dimana jari-jari bola = 10 cm.

$\begin{align*} V &= \frac{4}{3} \times \pi \times 10^3 \\ &= \frac{4}{3} \times \pi \times 1000 \\ &= \frac{4000}{3} \pi \\ &= \frac{4000}{3} \times 3,14 \\ &= 4.186,67 \: cm^3 \end{align*}$

Luas sisi bola basket = $4 \pi r^2$

$\begin{align*} L &= 4 \times \pi \times 10^2 \\ &= 400 \pi \\ &= 400 \times 3,14 \\ &= 1256 \: cm^2 \end{align*}$

7. Sebuah benda padat berbentuk setengah bola mempunyai diameter 10 cm. Hitunglah luas permukaan benda tersebut !

Jawab :

Luas permukaan benda = Luas sisi setengah bola + Luas lingkaran (Luas penutup setengah bola)

$\begin{align*} L &= \frac{1}{2} \times 4 \pi r^2 + \pi r^2 \\ &= 2 \pi r^2 + \pi r^2 \\ &= 3 \pi r^2 \\ &= 3 \times 3,14 \times 5^2 \\ &= 3 \times 3,14 \times 25 \\ &= 235,5 \: cm^2 \end{align*}$

8. Perhatikan gambar di bawah ini !

Sebuah tabung dengan diameter 20 cm berisi air setengah penuh. Jika sebuah bola berdiameter 6 cm dimasukkan ke dalam tabung tersebut, berapakah tinggi air yang naik?

Jawab :

Mencari dahulu volume bola.

$\begin{align*} V_{bola} &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ &= \frac{4}{3} \times \pi \times 3^3 \\ &= 4 \times \pi \times 3^2 \\ &= 36 \pi \: cm^3 \end{align*}$

Volume air yang naik adalah sama dengan volume bola. Cari tinggi air yang naik dengan menggunakan volume air yang naik pada tabung.

$\begin{align*} V_{air} &= \pi r^2 t \\ 36 \pi &= \pi \times 10^2 \times t \\ 36 \cancel{\pi} &= \cancel{\pi} \times 100 \times t \\ 36 &= 100 t \\ t &= \frac{36}{100} \\ t &= 0,36 \: cm \end{align*}$

Jadi tinggi air yang naik adalah 0,36 cm.

9. Sebuah bandul terdiri atas sebuah tabung dan setengah bola dengan jari-jari 6 cm seperti gambar di bawah ini.

Jika tinggi seluruhnya 15 cm dan $\pi = \frac{22}{7}$ . Hitunglah volume bandul tersebut

Jawab:

Tinggi kerucut = Tinggi seluruhnya – Jari-jari bola

$\begin{align*} t &= 15 \: cm - 6 \: cm \\ &= 9 \: cm \end{align*}$

Volume bandul = Volume kerucut + Volume setengah bola

$\begin{align*} V &= \frac{1}{3} \pi r^2 t + \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 \\ &= \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 9 + \frac{2}{3} \times \pi \times 6^3 \\ &= \frac{1}{\cancel{3}} \times \pi \times 6^2 \times \cancelto{3}{9} + \frac{2}{\cancel{3}} \times \pi \times \cancelto{72}{6^3} \\ &= \pi \times 36 \times 3 + 2 \times \pi \times 72 \\ &= 108 \pi + 144 \pi \\ &= 252 \pi \\ &= 252 \times \frac{22}{7} \\ &= 36 \times 22 \\ &= 792 \: cm^3 \end{align*}$

10. Gambar dibawah ini merupakan tabung dengan bagian atas dan bawah berupa setengah bola.

Jika diameter tabung 8,4 cm dan tinggi tabung 20 cm dan $\pi = \frac{22}{7}$ , tentukan luas permukaan tabung yang diarsir !

Jawab:

Luas tabung yang diarsir = Luas selimut tabung – 2 Luas setengah bola (tanpa tutup)

$\begin{align*} L &= \pi \: d \: t - 2 \times \frac{1}{2} \times 4 \pi r^2 \\ &= \pi \times 8,4 \times 20 - 4 \times \pi \times (4,2)^2 \\ &= 168 \pi - 4 \times \pi \times 17,64 \\ &= 168 \pi - 70,56 \pi \\ &= 97,44 \pi \\ &= 97,44 \times \frac{22}{7} \\ &= 13,92 \times 22 \\ &= 306,24 \: cm^2 \end{align*}$

Demikianlah pembahasan mengenai bangun ruang, jadi bangun ruang merupakan sebutan dari bangun-bangun tiga dimensi. Yang meliputi bangun ruang adalah: kubus, balok, prisma tegak segitiga siku-siku, tabung, limas, kerucut, dan bola.

MIRZA FARYS SALAM

forever in love

Arsip Blog

Daftar Blog Saya

Blogger news

Blogger templates

Wikipedia

Popular Posts

Pengikut

About Me

Posting Komentar